Qual a diferença entre Stay e Be?

Diferenças deste tipo são entendidas melhor com o tempo, convívio e observação do que através de uma tradução ou regra. Vamos a alguns exemplos onde "be" ou "stay" são mais naturais.

It is really hard to be away from my family.
É muito difícil estar ("ficar") longe da minha família. [neste caso, você poderia traduzir "be" como "ficar".]

I don't like to be away from my wife.
Eu não gosto de estar ("ficar") longe da minha esposa. [neste caso, você poderia traduzir "be" como "ficar".]

Stay here. Don't go away.
Fique aqui. Não vá embora. [neste caso, "stay" é mais natural do que "be" - "stay" passa a ideia de "permanecer".]

I think you should stay away from this guy.
Eu acho que você deveria ficar longe deste cara. [neste caso, "stay" é mais natural do que "be" - "stay" passa a ideia de "permanecer".]

I want to be with you every day.
Eu quero estar ("ficar") com você todo dia.

I want to stay with you. Don't leave me.
Eu quero ficar (''permanecer'') com você. Não me largue.

Don't be sad. [não recomendo "stay" neste caso.]
Não fique triste.

Don't be angry. [não recomendo "stay" neste caso.]
Não fique com raiva.

Tips to stay healthy. [não recomendo "be" neste caso.]
Dicas para permanecer saudável.

Bons estudos!