She's got a stick up her butt - Estrutura da frase em inglês

Amigo, a tradução é equivalente de CONTEXTO. Você está confuso porque a tradução isolada de got é "ter/tem/tenho" etc e isso não bate com a tradução de "ser arrogante" mas isso é apenas uma expressão idiomática cujo o equivalente em português é esse. Não dá pra traduzir palavra por palavra e procurar sentido nas coisas baseado nisso, é tudo questão de contexto equivalente e se acostumar com a forma que eles expressam coisas parecidas que no português utilizando suas próprias estruturas e palavras. Não tem como você aprender inglês dessa forma, eu canso de dizer isso. Apenas esteja ciente do contexto e aceite que eles expressam tais coisas dessa forma, não misture com sua língua nativa.

She's got - quer dizer "she has got" ou seja, "ela tem se tornado...", na prática "ela se tornou", em português é comum o "ela ficou...". O resto você já tinha deduzido.

But...wait! I found this on HiNative:

It means she thinks she’s better than other people

Ref. br.hinative

Ou seja, poderia ser também "ela se acha!/ela está se achando!"
No sentido de arrogância, falta de humildade, ter mania de grandeza e se achar superior, ao mesmo tempo que espera que os outros a sirvam ou acatem o que ela disser, ser metida, etc.