Significado de "He came through big time"

Neste caso diria que "came through" significa "ter feito o que era esperado".
Definiçao do Merriam Webster: " to do what is needed or expected"

https://www.merriam-webster.com/diction ... %20through

Could mean "está chegando no pedaço e abalando!"

Come through- chegando com algum objetivo, sendo chamado ou se convidando a si próprio (para uns drinques, uma visita por exemplo).

Big time - é uma espécie de "intensificador", como em "I owe you big time" após receber um grande favor, pra mostrar que você realmente está agradecido. Pra dizer que o que fizeram pra você quebrou um galhão.

Também poderia traduzir que "seu novo Relações Públicas chegou chegando!" ("chegou" came through, e o "big time" chegando...). Olha ele dizendo isso, e apontando pra si mesmo, se achando!
Me parece que a frase é sobre si mesmo...ele está falando de si mesmo em 3a pessoa, como acontece em certas situações, e nesse caso acrescenta uma certa comicidade/ironia ao momento. E que "casa" com o estilo daquele programa de TV.

Pensei em:

"Ele se saiu muito bem"

Mas vamos aguardar outras respostas.