Both x Either

Eu estava fazendo um exercício e estou em dúvida sobre esta pergunta.

Por que "either" e não "both"?

I was sitting in the restaurant at the table with smokers on ''either'' side of me.

Both, either

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Dicas:

1. Both é utilizado para se dizer "ambos" ou "os dois". Além disso, existe a expressão "both...and", que significa "tanto...quanto".

Which bird do you want? The black one or the yellow one? ''I want both.'' [Qual pássaro você quer? O preto ou o amarelo? "Eu quero os dois.'' ''Eu quero ambos.'' ]
Both Brazil and the USA are democratic countries. [Tanto o Brasil quanto os EUA são países democráticos.]

2. Either é utilizado para falar "um e o outro" (=ambos, os dois). Além disso, é utilizado para dizer "um ou o outro" (= qualquer um dos dois).

Flowers bloomed on either side [=on both sides] of the walk. [Flores se abriam nos dois lados do caminho.] - Merriam-Webster Dictionary
Either option is all right with me. [Qualquer uma das duas opções serve para mim.] - Merriam-Webster

No exemplo da pergunta:

I was sitting in the restaurant at the table with smokers on ''either'' side of me. [Eu estava sentado no restaurante na mesa com fumantes nos dois lados (=em ambos os lados) onde eu estava.]

Bons estudos.
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Obrigada pela resposta! Me ajudou muito.
Porém, ainda não consegui captar esse 'either' em ''I was sitting in the restaurant at the table with smokers on ''either'' side of me."
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Como foi mostrado, "fumantes estava nos dois lados (=em ambos os lados) onde a pessoa estava.'' "Either" tem o sentido de "ambos os lados", "os dois lados".