Display x Show: Qual a diferença?

Olá Jean! Grande pergunta.

Eu diria que, de modo geral, "display" refere-se à ação de tornar e deixar visível para que outros visualizem, enquanto "show" refere-se mais à ação de mostrar propriamente dita. Se fôssemos recorrer a traduções, poderia-se dizer que "show" está mais para "mostrar", enquanto "display" está mais para "exibir" (que, para falar a verdade, são sinônimos na maioria dos casos).

To display a sign
Ter uma placa à mostra, para que as pessoas vejam, ou tornar uma placa visível, pendurando-a em uma parede, por exemplo.

To show a sign
Mostrar um sinal/placa. Ação provavelmente temporária.

"He showed us the sign that we were going to display on the front window".
"Ele nos mostrou a placa que nós íamos exibir (pendurar) na janela da frente".

Em alguns contextos, contudo, "show" e "display" são intercaláveis. Ao se referir a emoções e qualidades, por exemplo, tanto "display an emotion/quality" e "show an emotion/quality" seriam possíveis. Neste caso, "display" é apenas mais formal do que "show".

"He displayed/showed no signs of regret".
"Ele não demonstrou nenhum sinal de arrependimento".

Claro, estas diferenças são relativamente subjetivas. Em muitos contextos, "display" e "show" são sinônimos, portanto é importante atentar para as sutilezas e similaridades que ambas palavras carregam em diferentes contextos. Por sinal, tanto "display" e "show" podem ser usados como substantivos, significando "exibição" (de objetos físicos, ações e características).