Como dizer "deixe verificar aquela documentação" em inglês

"Let me" traduz-se em nosso português como "deixe-me", logo a tradução está correta.

Deixe-me, geralmente no sentido de "vou fazer isso/vou agir, providenciar a ação", não no de pedir autorização.

Se colocar "it let me go through that paperwork"

Vai está errado?

"It let me go through that paperwork".
Ela/ele me deixou fazer a verificação da papelada/documentação.

A frase acima iria sugerir que o sujetio "it" me deixou verificar aquela 'papelada' (ou documentação). Neste caso "it" não seria uma pessoa, digamos que fosse um computador, uma máquina, um programa, uma instituição, etc.
Outro detalhe é que o interlocutor (ou leitor) já teria ciência do que se trata o IT, teria sido mencionado antes dessa sentença ser enunciada ou escrita.

Eu entendi a sua pergunta, mas vou colocar por outra perspectiva, não vai estar errado gramaticalmente, mas sim no sentido de que é a frase certa no contexto errado!

Julia,

O verbo LET (permitir) nesta estrutura é um imperativo. Essas frases iniciadas com LET podem expressar sugestão, propósta, requisição, desejo ou determinação.

A estrutura segue este padrão: LET + OBJETO (direto) + VERBO (forma base, sem "to"): Let me talk, Let it go, Let her think, Let him swim, Let them jump, Let Maria go.

* Observe que a situação aqui NÃO se trata de mencionar o SUJEITO, mas o OBJETO (aquele que recebe a ação). Todos os pronomes usados nestes exemplos, são pronomes objetos.