Have somebody do/doing x Get somebody to do/doing

Boa pergunta. De forma geral:

"To have someone do something" significa pedir, instruir ou solicitar que alguém faça algo. É comum, neste caso, que haja uma relação de hierarquia ou subordinação entre a pessoa que solicita e a pessoa que faz. Por exemplo:

• Our teacher had us (= requested that we) write a paper on World War II.
• The manager had security (= told security to) kick him out of the store.
• I'll have my driver (= tell my driver to) pick you up at seven.
• Have her come over at six (= instruct her to come at six).

Em seu sentido causativo, "have someone doing something" costuma transmitir a ideia de causa e efeito (A causa uma reação ou efeito em B). Exemplos:

• The ending of the movie had us crying like babies (the ending of the movie was very emotional and caused us to cry).
• He's really funny. He'll have you laughing your head off at every joke (his jokes will cause you to laugh profusely).

Note que, em "have someone do something", não há uma relação de causa e efeito, mas uma solicitação, instrução ou ordem. Em "have someone doing something", por outro lado, há uma relação de causa e efeito. Não se pode solicitar que alguém esboce uma reação, por exemplo, mas pode-se causar uma reação através de um ato.

"Get someone to do something" costuma indicar que você teve de convencer ou coagir alguém a fazer algo. Não se trata de uma simples ordem, a qual deve ser obedecida, mas de um pedido que depende da vontade da pessoa. Por exemplo:

• The meeting is scheduled for next week, but I'll be out of town, so I'll try and get someone else to go instead of me (= I'll ask or try to convince someone else to go in my stead).
• I'll see if I can get my brother to repaint the kitchen (= I'll try to convince my brother to repaint the kitchen).[/i]

"To get something done" é uma forma de dizer "to do something". A ênfase, neste caso, recai sobre a conclusão da ação. Exemplo:

• Get these reports sent = Send these reports (I don't care how it will be done, as long as it's done).
• I'll get it done = I'll do it no matter what it takes to do it or how it'll be done.

"To have something done" costuma indicar a ideia de "mandar fazer algo". Ex.:

I'll have the car fixed = Vou mandar consertar o carro.

I'll have the kitchen repainted = Vou mandar pintar a cozinha.

"To get someone + adjetivo" é similar a "tornar alguém + adjetivo" ou "fazer com que alguém fique + adjetivo. Ex.:

Don't get him mad = Don't make him mad = Não o deixe com raiva.

I never meant to get him involved in this = Eu nunca quis envolvê-lo nisso.

Note que estas são orientações genéricas. Infelizmente, não há maneira viável de consolidar todos os significados e formas de usos admitidos pelas expressões citadas em um único post. Isso significa que você verá exceções e casos que não se enquadram nas explicações dadas. O importante, neste caso, é que você assimile tais exceções de forma natural e em seu devido tempo. Se fizeres uma busca no fórum, acharás uma grande quantidade de conteúdo relacionado. No mais, espero ter ajudado. Bons estudos.