Let x Let us: Quando usar um e outro?

Oi, pessoal.

Estou com essa curiosidade do título do tópico porque há alguns minutos eu fui pesquisar sobre as contrações, e então me apareceu que let's era a contração de let+us.

Entretanto, me parece que não é muito recomendado o uso de let's em e-mails formais. Mas é aí que começam os problemas:

Na minha mente:
Let's = Vamos
Let us - Deixe-nos, permita-nos, something like this

E então fica a dúvida:

Se "let us" for mesmo usado só em casos onde o sentido não é o de fazer uma recomendação mas de pedir alguma coisa, qual seria o formal de "let's" no sentido de recomendação?

Thanks in advance.