Let x Let us: Quando usar um e outro?

Let x Let us: Quando usar um e outro?
Oi, pessoal.

Estou com essa curiosidade do título do tópico porque há alguns minutos eu fui pesquisar sobre as contrações, e então me apareceu que let's era a contração de let+us.

Entretanto, me parece que não é muito recomendado o uso de let's em e-mails formais. Mas é aí que começam os problemas:

Na minha mente:
Let's = Vamos
Let us - Deixe-nos, permita-nos, something like this

E então fica a dúvida:

Se "let us" for mesmo usado só em casos onde o sentido não é o de fazer uma recomendação mas de pedir alguma coisa, qual seria o formal de "let's" no sentido de recomendação?

Thanks in advance.

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A norma culta da língua inglesa, que é normalmente empregada em cartas, memorandos, atas e quaisquer outros documentos formais exige que as contrações sejam evitadas para garantir a compreensão e o cumprimento da mensagem. Portanto, nada de usar let’s em textos oficiais como atas, ofícios, contratos, petições, correspondências comerciais, etc.

No lugar de Let's, que mais informal, podemos utilizar o modal verb shall com o subject pronouns I ou we quando queremos sugerir formalmente algo a ser feito ou enfatizar tal ação num futuro próximo. Se estivéssemos escrevendo para um amigo(-a) ou namorado(-a), então a melhor opção seria Let's.

Exemplos:

1. Shall I open the window now to get you more air? (formal).
>> Que tal se eu abrir a janela agora para você respirar melhor?

2. I said Anne could go, and so she shall (formal).
>> Eu disse que Anne poderia ir, então ela vai.

3. Let's play soccer tomorrow? (informal).
>> Vamos jogar futebol amanhã?

Gostaria de destacar que o uso da tag question "shall we?" não é muito frequente no inglês americano e que mesmo nas conversas formais, o uso do Let's (forma contraída de Let us) é frequente. Acredito que o motivo esteja relacionado à praticidade e velocidade de conversação.

Durante as conversas, podemos nos deparar com situações onde precisaremos reforçar a mensagem ou suavizar algo que foi sugerido. Portanto utilizar Let's com sua tag question shall we? pode ser uma boa ideia:

Let's have a meeting tonight, shall we?
>> Vamos fazer uma reunião hoje à noite, o que acha?

Let's talk to him about his resignation, shall we?
>> Vamos falar com ele sobre seu pedido de demissão, tudo bem?

Let's get to the point, shall we?
>> Vamos ser diretos, beleza?
>> Seremos / Sejamos objetivos, ok?
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Thanks, Ricardo! I got it.
Apenas uma última dúvida:
Se "shall" é o formal de "let's" (no sentido de recomendação), qual é o formal de "let us" (no sentido imperativo)?
Quero dizer, mesmo nesses casos, podemos usar "let's"? Ou não existe uma outra maneira de escrever "let us"?
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Quando utilizado em frases afirmativas ou negativas, o shall perde o sentido de recomendação e passa a ser tratado como ordem, aviso ou autorização.
[Ênfase] (comando de voz)
Na negativa:
You shall not pass!
>> Você não vai atravessar!
>> Você não vai passar!

Na afirmativa:
They shall have finished installing my door by Friday
>> Eles terão terminado de instalar minha porta até sexta-feira.

Utilizar o let us, ao meu ver, seria uma formalidade a mais, geralmente empregada em (1) ensaios literários ou músicas, ou (2) naqueles casos onde o emissor tenha pressa ou urgência em cumprir com algum compromisso, tal qual acontece quando enfatizamos uma ação com os auxiliary verbs.

Example (1):

Let us be like the sun!
>> Deixe-nos ser como o sol! = Deixe-nos ser felizes!
>> Deixe-nos brilhar! = Não atrapalhe(m) nosso sucesso!

Example (2):

Let us go! = Deixe-nos ir! [Abra caminho para nós!]
Leave us alone! = Não nos perturbe! / Deixe-nos em paz! / Deixe-nos a sós!